Question

18．在直角坐标系中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}$（t为参数，0≤a＜π），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（2，1），若直线l与曲线C交于A，B两点，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求tana．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C：ρ=4cosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．
（II）把直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}$（t为参数，0≤a＜π）代入曲线C的直角坐标方程可得：t²+2tsina-3=0，由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，可得t₁=-2t₂．再利用根与系数的关系及其三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）C：ρ=4cosθ，得到C：ρ²=4ρcosθ，
因为$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，则曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）将$l：\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0，得到t²+2tsina-3=0．
$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2sina\\{t_1}•{t_2}=-3\end{array}\right.$，
又因为$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则t₁=-2t₂，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2sina\\{t_1}•{t_2}=-3\\{t_1}=-2{t_2}\end{array}\right.$．
解得：$sina=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$cosa=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$或$cosa=-\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，则$tana=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$tana=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．