Question

（本小题满分14分）已知函数，。
(1) 若，求函数的极值；
(2) 设函数，求函数的单调区间；
(3) 若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围。

Answer 1

(1)的极小值为； (2) 当时，在上递增；时，在上递减，在上递增；(3)或 。

解析试题分析：（1）
∴在上递减，在上递增 ∴的极小值为……4分
（2）   ∴
①当时，，∴在上递增
②当时，，
∴在上递减，在上递增                 ……8分
（3）区间上存在一点，使得成立
在上有解
当时，
由（2）知
当时，在上递增，
∴ ∴
②当时，在上递减，在上递增
（ⅰ）当时， 在上递增
∴ 
∴无解
（ⅱ）当时， 在上递减
∴
∴ 
（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增
∴
令，则
∴在递减  ∴ ∴无解
即无解
综上：或                      ……14分
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。
点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．