Question

20．已知命题p：函数y=${log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}+2x+a}）$的值域R，命题q：函数y=x^2a-5在（0，+∞）上是减函数．若p∧?q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p∧?q为真命题，则p真q假，进而可得实数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：对于命题p：因其定义域为R，故x²+2x+a＞0恒成立，
所以△=4-4a＜0，
∴a＞1．                …（3分）
对于命题q：因其在（0，+∞）上是减函数，故2a-5＜0，
则a＜$\frac{5}{2}$．   …（6分）
∵p∧?q为真命题，
∴p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a≥\frac{5}{2}\end{array}\right.$，则$a≥\frac{5}{2}$，…（10分）
故实数a的取值范围为[$\frac{5}{2}$，+∞）．                …（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质等知识点，难度中档．