已知抛物线E:x2=2py作抛物线E的两条切线.切点分别为A.B.直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．(1)求抛物线E的标准方程,(2)与圆x2+(y-1)2=1相切的直线l:y=kx+m.与抛物线交于P.Q两点.若在抛物线上存在点C.使$\overrightarrow{OC}$=λ$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$.求λ的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知抛物线E：x²=2py（p＞0），过点M（1，-1）作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）与圆x²+（y-1）²=1相切的直线l：y=kx+m（其中m∈（2，4]），与抛物线交于P，Q两点，若在抛物线上存在点C，使$\overrightarrow{OC}$=λ$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$（λ＞0），求λ的取值范围．

分析（1）求出直线AB的方程为x-py+p=0，利用直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，从而求p，即可求出抛物线的标准方程；
（2）由题意设直线y=kx+m，又直线l与圆（y-1）²+x²=1相切，所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²=m²-2m，由直线方程与抛物线联立可得△=16k²+16m＞0，进而由韦达定理可得$λ=1+\frac{1}{2（m-2）}$，从而求λ的取值范围．

解答解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则点A处抛物线的切线为$y=\frac{x_1}{p}x-{y_1}$，过点M（1，-1），因而x₁-py₁+p=0；
同理，点B处抛物线的切线为$y=\frac{x_2}{p}x-{y_2}$，过点M（1，-1），因而x₂-py₂+p=0．
两式结合，说明直线x-py-p=0过A，B两点，也就是直线AB的方程为x-py+p=0．
由已知直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，知p=2．
故所求抛物线的方程为x²=4y．
（2）直线l的方程为y=kx+m，又直线l与圆（y-1）²+x²=1相切，
所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²=m²-2m．
与抛物线方程联立，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，
化简消y得x²-4kx-4m=0，△=16k²+16m＞0，∴m＞1或m＜0，∵2＜m≤4，∴△＞0恒成立．
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则x₃+x₄=4k，${y_3}+{y_4}=k（{x_3}+{x_4}）+2m=4{k^2}+2m$．
由$\overrightarrow{OC}=λ（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）（λ＞0）$，则$\overrightarrow{OC}=（4kλ，λ（4{k^2}+2m））$，
又点C在抛物线上，则$λ=1+\frac{1}{2（m-2）}$，所以λ的取值范围为$[\frac{5}{4}，+∞）$．