Question

19．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：y²=ax（a＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，直线l与抛物线C相交于不同的A，B两点，如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）证明：直线l必过一定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：y²=ax（a＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，建立方程，即可求抛物线C的标准方程；
（2）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

解答 （1）解：∵抛物线C：y²=ax（a＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀，
∴x₀+$\frac{a}{4}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=ax₀，∴a=4，
∴抛物线C的标准方程C：y²=4x；
（2）证明：设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0设．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．

点评 本题考查抛物线方程与性质，考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．