Question

5．f（x）═ax²+bx+c，若关于x的不等式f（x-1）≥0的解集为[0，1]，则关于x的不等式f（x+1）≤0的解集为{x|x≥-1，或x≤-2}．

Answer 1

分析 f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c=ax²+（b-2a）x+a-b+c，由于关于x的不等式f（x-1）≥0的解集为[0，1]，可得：0，1是一元二次方程ax²+（b-2a）x+a-b+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得：$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$，a＜0，进而得出不等式f（x+1）≤0的解集．

解答 解：f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c=ax²+（b-2a）x+a-b+c，
∵关于x的不等式f（x-1）≥0的解集为[0，1]，
∴0，1是一元二次方程ax²+（b-2a）x+a-b+c=0的两个实数根，
∴0+1=-$\frac{b-2a}{a}$，0×1=$\frac{a-b+c}{a}$，a＜0，
化为：$\frac{b}{a}$=1，$\frac{c}{a}$=0，
不等式f（x+1）≤0即a（x+1）²+b（x+1）+c≤0，
∴（x+1）²+$\frac{b}{a}$（x+1）+$\frac{c}{a}$≥0，即（x+1）²+（x+1）≥0，
∴（x+1）（x+2）≥0，解得x≥-1，或x≤-2．
∴关于x的不等式f（x+1）≤0的解集为{x|x≥-1，或x≤-2}．
故答案为：{x|x≥-1，或x≤-2}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．