Question

如图所示,正四棱锥P—ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为,O为AC、BD交点.

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小;

(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;

(3)试在侧面PAD上寻找一点F,使EF⊥侧面PBC,确定点F的位置,并加以证明.

Answer 1

(1)解:如图,取AD中点M,连结MO、PM,则∠PMO为二面角PADC的平面角,

∴PO⊥面ABCD.

∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.

∴tan∠PAO=.设AB=a,则AO=,PO=,MO=,

∴tan∠PMO=.∴∠PMO=60°.

(2)解:如图,连结OE,∵OE∥PD,∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.

∵,

∴tan∠AEO=.

(3)证明:如图,所求点F为AD上的四等分点,延长MO交BC于N,取PN中点G,连结EG、MG.

BC⊥平面PMN平面PMN⊥平面PBC,

MG⊥平面PBC,

取AM中点F,

∵EG∥MF,MF=MA=EG,∴EF∥MG.

∴EF⊥平面PBC,

F点是AD上的四等分点,即.