Question

已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当最小时，求点T的坐标.

Answer 1

(1) ；（2）

试题分析：（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.
再根据取等号的条件，可得T的坐标.
试题解答：（1），又.
（2）椭圆方程化为.
（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.
设PQ的中点为，则
又TF的方程为，则得，
所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.
（ⅱ），又，所以
.
当时取等号，此时T的坐标为.
【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.