Question

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=e•a=×=，故b===，
所以，椭圆E的方程为+=1，即x²+3y²=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则
x₁+x₂=-，x₁x₂=；
∴•=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m--，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-；
所以，存在点M（-，0）满足题意．
分析：（I）椭圆的焦点在x轴上，且a=，e=，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．
（II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x₁+x₂，x₁x₂；计算•得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力．