Question

已知一个圆锥的地面半径为R，高为

15

R，点M是母线VP的中点．
（1）若该圆锥中有一个内接正方体，求该正方体的棱长；
（2）有一只虫子从P点绕着圆锥面爬行到M点（如图中曲线PM），求该虫爬过的最短距离．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）设该正方体的棱长为a，则利用轴截面可得

2 2 a

R

=

15 R-a

15 R

，即可求出该正方体的棱长；
（2）求出VP=4R，圆锥的侧面展开图为扇形，弧长为2πR，圆心角为

π

2

，即可求出该虫爬过的最短距离

解答： 解：（1）设该正方体的棱长为a，则利用轴截面可得

2 2 a

R

=

15 R-a

15 R

，
∴a=

15 2 -2 15

13

R；
（2）一个圆锥的底面半径为R，高为

15

R，∴VP=4R，
圆锥的侧面展开图为扇形，弧长为2πR，圆心角为

π

2

，
∴该虫爬过的最短距离为

4R2+16R2

=2

5

R．

点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，属于中档题．