Question

判断下列对应是否是A到B的映射和一一映射？

(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，x∈A，f：x→|x|；

(2)A＝N，B∈N^*，x∈A，f：x→|x－1|；

(3)A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{x|y≥0，y∈N}，x∈A，f：x→x²－2x＋2；

(4)A＝[1，2]，B＝[a，b]≠，x∈A，f：x→(b－a)x＋2a－b．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵0∈A，在f作用下，0→|0|＝0B， 　　∴不是映射． 　　(2)∵1∈A，在f作用下，1→|1－1|＝0B， 　　∴不是映射． 　　(3)对任意的x∈A，依法则f有：x→x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 　　∵x≥2，x∈Z， 　　∴y≥2，y∈N，即y∈B， 　　∴是映射． 　　而0∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射． 　　(4)任取x∈A，即1≤x≤2，依法则f有：x→(b－a)x＋2a－b． 　　∵b＞a， 　　∴y＝(b－a)x－2(b－a)＋b＝(b－a)(x－2)＋b≤b(∵x－2≤0，b－a＞0)． 　　同样，有y＝(b－a)x－(b－a)＋a＝(b－a)(x－1)＋a≥a(∵x－1≥0，b－a＞0)． 　　∴y∈B，故是映射． 　　又对任意的y∈[a，b]，总有x＝．而0≤a≤1， 　　∴1≤x≤2， 　　即x∈A，且当x1≠x2，x1、x2∈A时，y1≠y2． 　　∴f是A到B的一一映射． 　　思路分析：(1)按照映射的定义，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；惟一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有惟一的对应元素．(2)一一对应的两个特点：①对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象；②集合B中的每一个元素都有原象，即对应形式只能是“一对一”，A、B中没有剩余元素．