Question

设函数f(x)=－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．

Answer 1

解析：任取x₁、x₂∈0，＋且x₁＜x₂，则

f(x₁)－f(x₂)=－－a(x₁－x₂)=－a(x₁－x₂)

=(x₁－x₂)(－a)

(1)当a≥1时，∵＜1，

又∵x₁－x₂＜0，∴f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．

(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x₁=0，x₂=，满足f(x₁)=f(x₂)=1

∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数

注： ①判断单调性常规思路为定义法；

②变形过程中＜1利用了＞|x₁|≥x₁;＞x₂；

③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．