题目内容
设函数f(x)=ax+
(a，b∈R)，若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）设g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．
| b | x |
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）设g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（Ⅰ）由f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，则得到f′（1）=1，进而可得结果；
（Ⅱ）由于g（x）≤-1恒成立，等价于g（x）max≤-1．利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．
（Ⅱ）由于g（x）≤-1恒成立，等价于g（x）max≤-1．利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．
解答：解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=a-
，
因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因为g（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+
）=lnx-ax-
，
要使g（x）≤-1恒成立，即g（x）max≤-1．
g′(x)=
-a+
=
=
，
①当a=0时，g′(x)=
，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）max=g（1）=1，不符题意；
②当a≠0时，g′(x)=
=
=0⇒x=1，x=-1+
，
（1）若a＜0，-1+
＜0，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）min=g（1）=1-2a＞1＞-1，不符题意；
（2）若a＞0，
若0＜a≤
，-1+
＞1，
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
这时g(-1+
)=ln(-1+
)+2a-1＞-1，不符题意；
若
＜a＜1，0＜-1+
＜1，x∈(0，-1+
)，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
这时g（1）=1-2a＞1-2=-1，不符题意；
若a≥1，-1+
≤0，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
则g（x）max=g（1）=1-2a≤-1，符合题意；
综上，得g（x）≤-1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．
| b |
| x2 |
因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因为g（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+
| a-1 |
| x |
| a-1 |
| x |
要使g（x）≤-1恒成立，即g（x）max≤-1．
g′(x)=
| 1 |
| x |
| a-1 |
| x2 |
| -ax2+x+a-1 |
| x2 |
| -(ax+a-1)(x-1) |
| x2 |
①当a=0时，g′(x)=
| x-1 |
| x2 |
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）max=g（1）=1，不符题意；
②当a≠0时，g′(x)=
| -(ax+a-1)(x-1) |
| x2 |
-a[x-(-1+
| ||
| x2 |
| 1 |
| a |
（1）若a＜0，-1+
| 1 |
| a |
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
则g（x）min=g（1）=1-2a＞1＞-1，不符题意；
（2）若a＞0，
若0＜a≤
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
当x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
这时g(-1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
若
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
这时g（1）=1-2a＞1-2=-1，不符题意；
若a≥1，-1+
| 1 |
| a |
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
则g（x）max=g（1）=1-2a≤-1，符合题意；
综上，得g（x）≤-1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．
练习册系列答案
相关题目