Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，且a=4，A=$\frac{π}{3}$，则△ABC的面积是（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 根据两角和差的正弦公式化简已知式子，利用正弦、余弦定理列出方程，化简求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：由题意知，sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C，
则sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC-cosBsinC=4sin2C，
2sinBcosC=4sinCcosC，
由0＜C＜π得cosC≠0，则sinB=2sinC，
由正弦定理得b=2c，又a=4，A=$\frac{π}{3}$，
所以由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
解得c²=$\frac{16}{3}$，则c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即b=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查正弦、余弦定理，两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，属于中档题．