Question

4．△ABC中，∠A=90°，BC=2，点A是线段EF中点，EF=2，则$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为45°，则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 在△BEF中，运用余弦定理可得BE，cos∠EBF，则$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FB}$=-$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BF}$，由向量的数量积的定义，计算即可得到所求．

解答 解：在△BEF中，BF=1，EF=2，∠BFE=45°，
即有BE²=BF²+EF²-2BF•EF•cos45°=1+4-2×1×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=5-2$\sqrt{2}$，
cos∠EBF=$\frac{B{E}^{2}+B{F}^{2}-E{F}^{2}}{2BE•BF}$=$\frac{5-2\sqrt{2}+1-4}{2\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$
=$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$，
即有$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FB}$=-$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BF}$
=-$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$•1•$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．