Question

2．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）若?x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M总成立，求M的最大值；
（2）如果对?s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥eg（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，以及单调区间，可得g（x）的最值，由题意可得M≤g（x）_max-g（x）_min，即可得到M的最大值；
（2）g（t）在g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，由题意可得$\frac{a}{s}$+slns≥1对?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，可得a≥s（1-slns）的最大值，令g（s）=s（1-slns），s∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出导数，再求导数，判断单调性，由g′（1）=0，即可得到g（s）的单调性，进而得到最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的导数为g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
可得g（x）在[0，1），g′（x）＞0，g（x）递增；
g（x）在[1，2]，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，g（0）=0，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
即g（0）取得最小值0，
则M≤g（x）_max-g（x）_min=$\frac{1}{e}$，
可得M的最大值为$\frac{1}{e}$；
（2）对?s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥eg（t）成立，
由g（t）在g（1）取得最大值$\frac{1}{e}$，
则f（s）≥1对?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有$\frac{a}{s}$+slns≥1对?s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
可得a≥s（1-slns）的最大值，
令g（s）=s（1-slns），s∈[$\frac{1}{2}$，2]，
g′（s）=1-slns+s（-1-lns）=1-s-2slns，
g″（s）=-1-2（1+lns）=-3-2lns＜0，在s∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有g′（s）在s∈[$\frac{1}{2}$，2]递减，
则g′（2）≤g′（s）≤g′（$\frac{1}{2}$），
即有-1-4ln2≤g′（s）≤$\frac{1}{2}$+ln2，
由g′（1）=0，可得g（s）在（$\frac{1}{2}$，1）递增，（1，2）递减，
即有g（1）取得最大值1，
则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查转化思想和构造函数法，参数分离法以及化简整理的运算能力，属于中档题．