题目内容
4．已知函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax2-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，$\frac{1}{2}$] | B． | （0，$\frac{1}{2}$） | C． | [$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | （$\frac{1}{2}$，+∞） |
分析 设h（x）=g（x）-f（x）=ax2-lnx-$\frac{1}{2}$，利用导数求得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，函数h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，利用函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax2-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，可得-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，即可求出实数a的取值范围．
解答 解：设h（x）=g（x）-f（x）=ax2-lnx-$\frac{1}{2}$，则h′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=0（x＞0），
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$
0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＜0；x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＞0，
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，函数h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∵函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax2-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，
∴-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$．
故选：D．
点评 本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，正确构造函数，合理运用导数是关键．
练习册系列答案
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14．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |