Question

1．已知函数f（x）=（ax+b）lnx-bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入函数表达式求出b的值，求出函数的导数，得到切线方程，求出a的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解（1）因为f（1）=-b+3=2，
所以b=1，f（x）=（ax+b）lnx-bx+3；…（1分）
又$f'（x）=\frac{b}{x}+alnx+a-b=\frac{1}{x}+alnx+a-1$，…（2分）
而函数在（1，f（1））处的切线方程为y=2，
所以f′（1）=1+a-1=0，所以a=0；…（3分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1$，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0；
所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，…（6分）
所以f（x）有极大值f（1）=2，无极小值…（8分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．