Question

在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；
（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B-AD-E的正切值的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．
（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B-AD-E的平面角，由此能求出二面角B-AD-E的正切值的大小．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．
因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，
则FG∥BC，FG=

1

2

BC，
所以FG∥DE，FG=DE，
则四边形DEFG是平行四边形，
所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．
（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，
因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，
过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，
所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B-AD-E的平面角．
设DE=a，则BC=AB=2a，
在△BEM中，EM=

a

2

，BE=

2

a，所以BM=

7

2

a．
又因为△ADE∽△MDH，
所以HM=

6

2

a，则tan∠BHM=

42

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．