Question

【题目】已知正项数列的前n项和满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若（n∈N*），求数列的前n项和;

（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；

（2）由 ，可采用裂项相消法求数列的前n项和；

（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，

即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解．

（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．

当n≥2时，，

整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，

∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴．

（2）由（1）得an=n+1，∴．

∴．

（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，

即对一切正整数恒成立，只需满足即可，

令，则

当

故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…

当n=3时有最小值，所以．