Question

【题目】(2015·江苏） 已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR).
（1）试讨论f(x)的单调性；
（2）若b=c-a（实数c是a与无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(-,-3)(1,)(,+)，求c的值.

Answer 1

【答案】
（1）

当a=0时，f(x)在（-， +）上单调递增， 当a>0时，f(x)在（-， -), (0,+)上单调递增， 在（-,0)上单调递减，

当a<0时，f(x)在（-， 0), (-,+)上单调递增， 在（0, -)上单调递减。

（2）

c=1.

【解析】(1) f'(x)=3x2+2ax, 令 f'(x)=0， 解得x1=0, x2=-.
当a=0时，因为f'(x)=3x2>0,(x≠0)， 所以 函数f(x)（-， +）上单调递增，当a>0时，x(-,-)(0,+)时， f'(x)>0 , x(-,0), f'(x)<0 , 所以函数f(x)在（-， -), (0,+)上单调递增， 在（-,0)上单调递减。 当a<0时，x(-，0)(-, +)时，f'(x)>0, x(0, -)时，f'(x)<0， 所以 f(x)在（-， 0), (-,+)上单调递增， 在（0, -)上单调递减。
（2）由（１）知，　函数ｆ（ｘ）的两个极值为ｆ（０）＝ｂ，　ｆ（－）＝a3＋ｂ，则函数f(x)有三个零点等价于f(０)·f(－)＝ｂ（a3＋ｂ）＜０，　从而或, 又b=c-a,所以当a>0时，a3-a+c>0或当a<0时， a3-a+c<0.
设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时， a的取值范围恰好是(-,-3)(1,)(,+)， 则(-,-3)上g(a)<0，且在(1,）(,+)上g(a)>0均恒成立， 从而g(-3)=c-1≤0，且g()=c-1≥0， 因此c=1.
此时， f(x)=x3+ax2+1-a=（x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因函数有三个零点， 则x2+(a-1)x+1-a有两个异于-1的不等实根， 所以△=（a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0, 且（-1）2-（a-1)+1-1≠0，解得a(-,-3)(1,)(,+). 综上c=1.
【考点精析】利用函数的单调性和函数的零点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．