Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)，α、β为方程f(x)＝x的两根，且0＜α＜β＜，0＜x＜α，给出下列不等式，其中成立的是

①x＜f(x)

②α＜f(x)

③x＞f(x)

④α＞f(x)

[　　]

A．

①④

B．

③④

C．

①②

D．

②④

Answer 1

答案：A
解析：

设F(x)＝f(x)－x，由已知α、β是F(x)＝0的两根，∴F(x)＝a(x－α)(x－β)． 　　在x∈(0，α)时，f(x)－x＝F(x)＝a(x－α)(α－β)． 　　∵a＞0，x－α＜0，x－β＜0，∴F(x)＞0．∴f(x)＞x． 　　又a－f(x)＝α－[F(x)＋x]＝α－x－F(x)＝α－x－a(x－α)(x－β)＝(α－x)[1＋a(α－β)]． 　　∵0＜x＜α＜β＜，∴aβ＜1．∴1＋a(x－β)＝1＋ax－aβ＞1－aβ＞0． 　　而α－x＞0，∴α－f(x)＞0．∴f(x)＜α．故选A．