Question

设函数，，已知x=a，x=b为函数f（x）的极值点（0＜a＜b）
（1）求函数g（x）在（-∞，-a）上的单调区间，并说明理由．
（2）若曲线g（x）在x=1处的切线斜率为-4，且方程g（x）-m=0有两个不相等的负实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数与极值的关系即可求出；
（2）先利用导数的几何意义求出t，进而得出得出单调区间并由此画出图象即可求出．
解答：解：（1）∵=，又x=a，x=b为函数f（x）的极值点，
∴a，b是方程x²-tx+3=0的两根，∴a+b=t，ab=3．
又=-=-．
∵0＜a＜b，ab=3，∴0＜a＜＜b，∴．
当和时，g^′（x）＞0；当x∈（-∞，-b）时，g^′（x）＜0．
∴g（x）的单调递增区间为和；单调递减为（-∞，-b）．
（2）由g^′（1）==-4，解得t=4．
∴g（x）=，．
令g^′（x）=0，解得x=-3或-1．
当x∈（-∞，0]时，列表如图：
由表格可知：当x=-3时，g（x）取得极小值；当x=-1时，g（x）取得极大值-1．
由图象可知：
当或时，方程g（x）-m=0有两个不相等的负实根．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和图象是解题的关键．