Question

已知：a∈R，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）设x=-1是f（x）的一个极值点．求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上不是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据x=-1是f（x）的一个极值点，则f'（-1）=0即可求出a的值，得到函数f（x）的解析式，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值；
（2）可先考虑反面情形，求f（x）在[-1，1]是单调函数，则f'（x）的符号在（-1，1）上是确定的，转化成f'（x）＜0对于x∈（-1，1）一恒成立，建立不等关系，求出a的范围，最后求出补集即可．

解答：解：（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a
∴f'（x）=3x²-2ax-4
又f′(-1)=0，∴a=

1

2

（2分）
∴f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)，f′(x)=3x2-x-4
由f′(x)=0，得x=-1或x=

4

3

.（4分）
由f(

4

3

)=-

50

27

，f(-1)=

9

2

，f(2)=0，f(-2)=0
得f（x）在[-2，2]上的最大值为

9

2

，最小值为-

52

27

（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-2ax-4，
先考虑f（x）在[-1，1]是单调函数
则f'（x）的符号在（-1，1）上是确定的
∵f'（0）=-4＜0
∴此时f'（x）＜0对于x∈（-1，1）一恒成立（10分）
∴由二次函数性质，知

f′(-1)=2a-1≤0 f′(1)=-1-2a≤0

得：-

1

2

≤a≤

1

2

.（13分）
∴当f（x）在[-1，1]上不是单调函数时，a的取值范围是：a＜-

1

2

或a＞

1

2

.（15分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．