Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知椭圆C的短轴长为2，A₁，A₂为左右顶点，点P为椭圆C上异于A₁，A₂的一点，过，A₁，A₂的直线l₁，l₂交于点P，且与y轴分别交于点M，N，直线OT与过点M，N的圆G切于点T，确定点T的轨迹．

Answer 1

分析 （1）通过将点（b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）代入椭圆方程，利用离心率的定义计算即得结论；
（2）通过（1）及椭圆C的短轴长为2可知椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，通过令直线l₁、l₂方程中x=0可知y_M=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$、y_N=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$，进而利用切割线定理即得结论．

解答 解：（1）依题意，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}b）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理得：a=$\sqrt{2}$b，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵椭圆C的短轴长为2，
∴b=1，
又∵a=$\sqrt{2}$b，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴A₁（-$\sqrt{2}$，0）、A₂（$\sqrt{2}$，0），记P（x₀，y₀），
则直线l₁方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
令x=0可知：y_M=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$；
直线l₂方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），
令x=0可知：y_N=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$；
则|OM|•|ON|=|$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$•$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$|=|$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$|，
又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
∴${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=1，
由切割线定理可知|OT|²=|OM|•|ON|=1，
∴点T的轨迹是以坐标原点为圆心、1为半径的圆周．

点评 本题考查椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．