Question

15．在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是棱C′D′和B′C′的中点，试求：
（1）AF与平面BEB′所成角的余弦值；
（2）求点A到平面BEB′的距离．

Answer 1

分析 （1）通过建立空间直角坐标系，利用线面角公式sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$即可得出；
（2）利用点A到面BEB₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$即可得出．

解答 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

则A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），E（0，$\frac{1}{2}$，1），F（$\frac{1}{2}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{1}{2}$，1，1）．
设平面BEB₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BB}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}z=0\\-x-\frac{1}{2}y=0\end{array}\right.$，取y=2，则x=-1，z=0．
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，2，0），
设AF与平面BEB₁所成的角为θ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$=$\frac{\frac{1}{2}+2}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{1}{4}+2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-{sin}^{2}θ}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可得平面BEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）．
∴点A到面BEB₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 熟练掌握线面角公式sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$、点A到面BEB₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$是解题的关键．