Question

设二次函数f（x）＝ax²＋bx+c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两根x₁、x₂满足，

0＜x₁＜x₂＜．

（Ⅰ）当x∈（0，x₁）时，证明：x＜f（x）＜x₁；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明：x₀＜．

Answer 1

证明：（1）令F（x）=f（x）－x，由x₁、x₂是方程f（x）－x=0的两根，有F（x）=a（x－x₁）（x－x₂）

当x∈（0，x₁）时，由x₁≤x₂，及a＞0，有F（x）=a（x－x₁）（x－x₂）＞0，

即F（x）=f（x）－x＞0，f（x）＞x．

又x₁－f（x）=x₁－［x＋F（x）］＝x₁－x－a（x－x₁）（x－x₂）＝（x₁－x）［1＋a（x－x₂）］

因为0＜x＜x₁＜x₂＜

所以x₁－x＞0，1＋a（x－x₂）＝1＋ax－ax₂＞1－ax₂＞0

得x₁＞f（x），所以x＜f（x）＜x₁.

（2）依题意x₀＝－，因x₁、x₂是f（x）－x=0的根，即x₁、x₂是方程

ax²＋（b－1）x+c=0的根

所以x₁＋x₂＝，

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因为ax₂＜1，即ax₂－1＜0，故x₀＝