Question

2．函数f（x）=x³-3x+c有两个零点，则c=-2或2．

Answer 1

分析 若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论

解答 解：∵f（x）=x³-3x+c，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．
要使函数f（x）=x³-3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，
由极大值f（-1）=-1+3+c=c+2=0，解得c=-2；再由极小值f（1）=1-3+c=c-2=0，解得c=2．
综上实数c的取值范围：c=-2或c=2，
故答案为：-2或2．

点评 本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．