Question

15．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥1的解集A满足[-1，1]⊆A．
（1）求实数m的取值范围B；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），m₀为B中的最小元素且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m₀，求证：a+2b+3c≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）因为f（x）=m-|x-2|，所以f（x+2）≥1等价于|x|≤m-1，解此不等式，结合[-1，1]⊆A知A是非空集合，得到端点的不等式得到m范围；
（2）由（1）知m₀=2，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=2$，即$\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）=1$，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式．

解答 解：（1）因为f（x）=m-|x-2|，所以f（x+2）≥1等价于|x|≤m-1，
由[-1，1]⊆A知A是非空集合，所以 1-m≤x≤m-1，
结合[-1，1]⊆A可得m-1≥1⇒m≥2，
即实数m的取值范围是B=[2，+∞）．
（2）由（1）知m₀=2，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=2$，
∴$a+2b+3c=\frac{1}{2}（{a+2b+3c}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}}）$$≥\frac{1}{2}{（{\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}}}）^2}=\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及利用乘1法，结合基本不等式证明不等式；属于中档题．