Question

已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足

AP

•

BP

=k

PC

2
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线
（2）当k=2时，求|

AP

+2

BP

+

CP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将向量用坐标进行表示，利用动点P满足

AP

•

BP

=k

PC

2，可得动点P的轨迹方程，进而分类说明方程表示的曲线；
（2）当k=2时，轨迹为圆，进而可知|

AP

+2

BP

+

CP

|表示点（x，y）到点(

1

2

，-

1

2

)的距离，故可求．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），

AP

=(x，y-2)，

BP

=(x，y+2)

PC

=(x-2，y)，
由已知x²+y²-4=k[（x-2）²+y²]
∴（k-1）x²+（k-1）y²-4kx+4（k+1）=0…（3）分
①∴当k=1时，x=2方程表示一条直线          …（4）分
②当k≠1时，x2+y2-

4kx

k-1

+

4(k+1)

k-1

=0
∴(x-

2k

k-1

)2+y2=

4k2

(k-1)

-

4(k+1)

k-1

=

4

(k-1)2

＞0
∴k≠1时，方程表示圆心为(

2k

k-1

，0)，r=

2

|k-1|

的圆      …（6）分
（2）k=2点p的方程为（x-4）²+y²=4

AP

+2

BP

+

CP

=(x，y-2)+(2x，2y+4)+(x-2，y)=(4x-2，4y+2)|

AP

+2

BP

+

CP

|=

(4x-2)2+(4y+2)2

=4

(x- 1 2 )2+(y+ 1 2 2)

…（8）分

(x- 1 2 )2+(y+ 1 2 2)

表示点（x，y）到点(

1

2

，-

1

2

)的距离     …（10）分
圆心（4，0）到(

1

2

，-

1

2

)的距离为d=

49 4 + 1 4

=

5 2

2

∴|

AP

+2

BP

+

CP

|的最小值为(

5 2

2

-2)×4=10

2

-8，
最大值为(

5 2

2

+2)×4=10

2

+8…（13）分

点评：本题以向量为载体，考查轨迹问题，关键是用坐标表示向量，正确理解代数式的几何意义是解题的关键．