Question

已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足：
（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（II）当m=2时，设点P（x，y）（y≥0），求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出动点坐标，求出向量的坐标，直接代入后整理得到动点P的轨迹方程，然后对m分类说明方程所表示的曲线；
（Ⅱ）当m=2时，得到点P的具体方程，求的取值范围，其几何意义就是轨迹上的动点与定点（8，0）连线的斜率范围，用圆心到直线的距离等于半径求解．
解答：解：（Ⅰ）设动点的坐标为P（x，y），则=（x，y-2），=（x，y+2），=（2-x，-y）
∵=m||²，
∴
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，则方程为x=2，表示过点（2，0）且平行于y轴的直线；
若m≠1，则方程化为：，表示以（，0）为圆心，以 为半径的圆；   
（Ⅱ）当m=2时，方程化为（x-4）²+y²=4；
设，则y=kx-8k，圆心（4，0）到直线y=kx-8k的距离d=时，
解得，又y≥0，所以点P（x，y）所在图形为上半个圆（包括与x轴的两个交点），
故直线与半圆相切时；
当直线过x轴上的两个交点时知k=0；
因此的取值范围是．
点评：本题考查了圆锥曲线的方程的求法，练习了向量在解析几何中的应用，解答（Ⅱ）的关键在于对式子的几何意义的理解，是中档题．