Question

已知α，β为锐角，tanα=

1

7

，sinβ=

10

10

，求α+2β．

Answer 1

分析：根据β为锐角，由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ，即可求出tanβ的值，然后利用二倍角正切函数公式求出tan2β的值，且根据求出的tan2β的值判断出2β的范围，由tanα的值判断出α的范围，即可得到α+2β的范围，利用两角和的正切函数公式化简后，把tanα和tan2β的值代入即可求出tan（α+2β）值，然后根据α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．

解答：解：因为β为锐角，sinβ=

10

10

，所以cosβ=

3 10

10

，则tanβ=

1

3

，
而tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

＜1，得到0＜2β＜

π

4

，且tanα=

1

7

＜

3

3

，得到0＜α＜

π

6

，
则tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
由α，β为锐角，得到α+2β∈（0，

5π

12

），所以α+2β=

π

4

．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正切函数公式及两角和的正切函数公式化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角度的范围．