题目内容

证明：不等式ln（1+x）＞x－x2（x＞0）.

证明：令f（x）=ln（1+x）－x+x2，则f′（x）=.

当x>0时，f′（x）>0，

因此f（x）在（0，+∞）内为增函数.

又因为f（0）=0，

于是当x>0时，f（x）>0.

∴当x>0时，ln（1+x）>x－x2.

练习册系列答案
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设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞
1
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．
数列{an}满足a1=1且an+1=（1+
1
n2+n
）an+
1
2n
（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．
已知函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-
1
2
，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．
设函数f（x）=blnx-（x-1）2，其中b为常数．
（Ⅰ）若b=4，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若函数f（x）有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（Ⅲ） 证明：对任意不小于3的正整数n，不等式ln(n+1)-lnn＞
1n2
都成立．

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