Question

已知函数f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-

1

2

，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=2x+

a

x+1

，函数f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x，知

f′(0)=a=-1 f(0)=b=0

，由此能求出a，b的值． 
（2）由（1）知f（x）=x²-ln（x+1）（x＞-1），由当x∈[-

1

2

，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，知关于x的方程x²-ln（x+1）+x=m在[-

1

2

，1]上有两个不相等的实根．由此能够求出实数m的取值范围．
（3）令g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³（0＜x≤1），则g′(x)=2x-

1

x+1

-3x2=

-3x3-x2+2x-1

x+1

=

-3x3-(x-1)2

x+1

，故g（x）在（0，1]上为减函数，由此能够证明对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R），
∴f′(x)=2x+

a

x+1

，
∵函数f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x，
∴

f′(0)=a=-1 f(0)=b=0

，
∴

a=-1 b=0

…（4分） 
（2）由（1）知f（x）=x²-ln（x+1）（x＞-1）
∵当x∈[-

1

2

，1]时，
f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，
∴关于x的方程x²-ln（x+1）+x=m在[-

1

2

，1]上有两个不相等的实根．…（5分）
令F（x）=x²-ln（x+1）+x，（x＞-1），
F′(x)=2x-

1

x+1

+1
=

2x2+2x-1+x+1

x+1

=

x(2x+3)

x+1

，
由F′（x）=0，得x=0或x=-

3

2

（舍去）．
当-1＜x＜0时，F′（x）＜0；
当x＞0时，F′（x）＞0．
∴F（x）在x=0处取得极小值，
∴F（x）_min=F（0）=0，
又F（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

-ln

1

2

=-

1

4

+ln2，F（1）=2-ln2，
由F（1）-F（-

1

2

）=

9

4

-2ln2=

9

4

-ln4＞0，知F（1）＞F（-

1

2

），
∴m∈(0，-

1

4

+ln2]…（9分）
（3）令g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³（0＜x≤1）g′(x)=2x-

1

x+1

-3x2=

-3x3-x2+2x-1

x+1

=

-3x3-(x-1)2

x+1

，
∵0＜x≤1，∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0，
∵

1

n

∈(0，1]，
∴g（

1

n

）=f（

1

n

）-

1

n3

＜0，
∴对任意的正整数n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．…（14分）

点评：本题考查导数性质的应用，具体涉及到函数的单调性、极值、切线方程，不等式、一元二次方程根的判别式等基本知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答．