Question

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲用数学归纳法证明，分两个步骤：当n=2时和假设当n=k（k≥2）时不等式成立，接下来证明当n=k+1时不等式成立即可；
（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1），再结合对数函数的单调性，得到lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．最后对此式从1到n-1求和后放缩可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：
①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+

1

k(k+1)

）a_k+

1

2k

≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据（1）、（2）可知：a_k≥2对所有n≥2成立．
（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1）
两边取对数并利用已知不等式得lna_n+1≤ln（1+

1

n2+n

+

1

2n

）+lna_n≤lna_n+

1

n2+n

+

1

2n

故lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．
上式从1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

2

•

1- 1 2n

1- 1 2

=1-

1

n

+1-

1

2n

＜2
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．

点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式，以及用放缩法法证明不等式，属于基础题．数学归纳法是重要的数学思想方法，是证明与正整数有关的命题的一种有效方法．特别是“试验-猜想-证明”的解题途径又是进行研究性学习的最好方法之一．