Question

【题目】(2015·新课标I卷）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E.

（1）若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；
（2）若OA=CE，求∠ACB的大小.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：联结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE,连接OE, ∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线，

（2）

60°

【解析】
（I）证明：联结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE,连接OE, ∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线，
（Ⅱ）解：设CE=1，AE=x, 由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得，AE2=CE·BE，∴x2=,解得x=, ∴∠ACB=60°。


在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.
（I）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC ， AC⊥AB ， 由直角三角形中线性质知DE=DC ， OE=OB ， 利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；
（Ⅱ）设CE=1,由OA= CE，得AB= ，设AE=x，由勾股定理得BE= ，由直角三角形射影定理可得AE2=CE·BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小.