Question

已知数列{a_n}满足．
（I）求a_n的通项公式；
（II）若，求b_n的前n项和S_n；
（III）若．求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知S_n求a_n的问题可以利用 进行求解，能合并就合并，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得 b_n=n•2ⁿ，是由一个等差数列与一等比数列的乘积，可利用错位相减法进行求和，再S_n的等式两边同时乘以公比，然后进行作差即可求出数列{b_n}的前n项和S_n；
（III））把（Ⅰ）求得的结果代入，通过对c_n进行放缩，达到求和的目的，从而证明了不等式的右边；要证不等式的左边，构造函数f（x）=2^x-x²，求导，借助于该函数的单调性证明该不等式的左边，从而证明结论正确．
解答：解：（I）当n≥2时，
当n=1时，a₁=1成立，故
（II）b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，-S_n=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（III）证明：
令f（x）=2^x-x²
f′（x）=2^xln2-2x，又
故f′′（x）=2^x（ln2）²-2≥f′′（5）＞0
故f′（x）在[5，+∞）上单调递增，故f′（x）≥f′（5）＞0
故f（x）在[5，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（5）=7＞0
故当n＞4时，2ⁿ＞n²恒成立，即
故
又
故
综上可得，
点评：此题是难题．考查学生根据数列递推公式求数列的通项公式并利用错位相减法求和，以及把不能求和的数列问题通过放缩的方法达到求和的目的．特别是问题（III）的设问形式，构造函数，借助于函数的单调性证明数列不等式，是高考的热点，也是难点，注意体会．