Question

2．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=BC=$\frac{1}{2}$CD，E为AA₁的中点．
（1）证明：BE∥CD₁；
（2）若∠ADC=45°，CD=CC₁，求证：平面EB₁C₁⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点G，DD₁的中点F，连接BG，FG，EF．依次证明四边形ABGD，四边形ADFE，四边形BGFE是平行四边形，得出BE∥FG，结合FG∥CD₁得出结论；
（2）利用勾股定理逆定理证明BE⊥B₁E，利用等腰三角形性质得出BC⊥CD，从而可证BC⊥平面ABE，得出BE⊥BC即BE⊥B₁C₁，从而有BE⊥平面EB₁C₁，故平面EB₁C₁⊥平面EBC．

解答 证明：（1）取CD的中点G，DD₁的中点F，连接BG，FG，EF．
则FG∥CD₁，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=DG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AD∥BG，AD=BG．
∵E是DD₁的中点，F是AA₁的中点，AA₁∥DD₁，AA₁=DD₁，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴EF∥BG，EF=BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BE∥FG，又FG∥CD₁，
∴BE∥CD₁．
（2）∵CG=$\frac{1}{2}$CD=BC，∠BGC=∠ADC=45°，
∴∠BCD=90°，即BC⊥CD，
又AB∥CD，∴BC⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴AA₁⊥BC，又AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ABE，又BE?平面ABE，
∴BC⊥BE，又BC∥B₁C₁，
∴BE⊥B₁C₁．
设AB=1，则A₁B₁=1，AA₁=BB₁=CC₁=CD=2，
∴AE=A₁E=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=1，BE=B₁E=$\sqrt{2}$，
∴BE²+B₁E²=BB₁²，∴BE⊥B₁E，
又B₁E∩B₁C₁=B₁，B₁E?平面EB₁C₁，B₁C₁?平面EB₁C₁，
∴BE⊥平面EB₁C₁，又BE?平面EBC，
∴平面EB₁C₁⊥平面EBC．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，线面垂直的性质，属于中档题．