Question

20．设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数是f'（x），且x⁴f'（x）+3x³f（x）=e^x，$f（3）=\frac{e^3}{81}$，则x＞0时，f（x）（　　）

• A． 有极大值，无极小值
• B． 有极小值，无极大值
• C． 既无极大值，又无极小值
• D． 既有极大值，又有极小值

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值即可．

解答 解：$f'（x）=\frac{{{e^x}-3{x^3}f（x）}}{x^4}$，
设h（x）=e^x-3f（x）x³，
则h'（x）=e^x-3[f'（x）x³+3f（x）x²]
=${e^x}-\frac{3}{x}[{f'（x）{x^4}+3f（x）{x^3}}]$
=${e^x}-\frac{3}{x}•{e^x}={e^x}•\frac{x-3}{x}$，
所以h（x）≥h（3）=e³-81f（3）=0，
即f'（x）≥0，因此f（x）在（0，+∞）递增，既无极大值，又无极小值，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．