Question

【题目】已知点A(－2,0)，B(2，0)，曲线C上的动点P满足.

(1)求曲线C的方程；

(2)若过定点M(0，－2)的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；

(3)若动点Q(x，y)在曲线C上，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】试题分析：(1)设点，利用直接法求动点轨迹；(2)设直线方程，利用圆心到直线的距离和半径的大小进行求解；（3）将求斜率问题转化为判定直线和圆有公共点问题，再利用圆心到直线的距离和半径的大小进行求解.

试题解析：(1)设P(x，y)，A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，

得P点轨迹(曲线C)方程为x2＋y2＝1，

即曲线C是圆．

(2)可设直线l的方程为y＝kx－2，

其一般方程为kx－y－2＝0，

由直线l与曲线C有交点，得≤1，得k≤－或k≥，

即所求k的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．

(3)由动点Q(x，y)，设定点N(1，－2)，

则直线QN的斜率kQN＝＝u，

又点Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，

设直线QN的方程为y＋2＝u(x－1)，

即ux－y－u－2＝0.

当直线与圆相切时，＝1，

解得u＝－，

当u不存在时，直线与圆相切，

所以u∈(－∞，－]．