题目内容

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N⁺），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做幸运数，则k∈[1，2011]内所有的幸运数的和为________．

2026
分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
解答：a_n=log_n+1（n+2）= $\text{[math]}$ （n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ =log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
= $\text{[math]}$ -2×9=2026 （2¹¹-2＞2011）
故答案为2026．
点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．

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