Question

已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²+b²=4abcosC，且c²=ab．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（ωx-C）-cosωx（ω＞0）且直线y=f（）与函数y=f（x）图象相邻两交点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）锐角△ABC中，由余弦定理求得cosC=，可得 C=．
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2A-），根据B=-A，0＜A＜，0＜B＜，求出2A- 的范围，即可求出f（A）的取值范围．
解答：解：（I）锐角△ABC中，由余弦定理可得 a²+b² -c²=2ab•cosC，再由a²+b²=4abcosC，c²=ab，可得 cosC=，C=．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（ωx-）-cosωx（ω＞0）=sinωx- cosωx=sin（ωx-），
由题意可得函数的周期为π=，ω=2，∴f（A）= sin（2A-）．
∵C=，∴B=-A，再由 0＜A＜，0＜B＜，可得 ＜A＜，＜2A-＜，
∴＜sin（2A-）≤1，∴＜f（A）≤．
即 f（A）的取值范围为 （，]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．