题目内容

(2009•淮安模拟)已知锐角△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,向量
s
=(2sinC,-
3
),
t
=(cos2C,2cos2
C
2
-1),且
s
t

(1)求C的大小;
(2)若sinA=
1
3
,求sin(
π
3
-B)
的值.
分析:(1)由
s
t
,得2sinC(2cos2
C
2
-1)=-
3
cos2C,可求得tan2C,从而可得2C,进而得到C;
(2)由C=
π
3
,得A=
3
-B
,则sin(
π
3
-B)=sin[(
3
-B)-
π
3
]=sin(A-
π
3
)
,利用差角的正弦公式可求;
解答:(1)∵
s
t
,∴2sinC(2cos2
C
2
-1)=-
3
cos2C,
sin2C=-
3
cos2C
,即tan2C=-
3

又∵C为锐角,∴2C∈(0,π),∴2C=
3
,∴C=
π
3

(2)∵C=
π
3
,∴A=
3
-B

sin(
π
3
-B)=sin[(
3
-B)-
π
3
]=sin(A-
π
3
)

sinA=
1
3
,且A为锐角,∴cosA=
2
2
3

sin(
π
3
-B)=sin(A-
π
3
)=sinAcos
π
3
-cosAsin
π
3
=
1-2
6
6
点评:本题考查平面向量共线的充要条件、和差角公式,考查学生的运算求解能力.
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