Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，PD垂直底面ABCD，PD=2

2

R，E，F分别是PB，CD上的点，且

PE

EB

=

DF

FC

，过点E作BC的平行线交PC于G．
（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
（3）当

PE

EB

=

1

2

时，求△EFG的面积．

Answer 1

分析：（1）先证明△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，点D到面PAB的距离为H，由V_P-ABD=V_D-PAB，求出H的值，R表示，计算
sinθ=

H

BD

的值．
（2）由EG∥BC，结合成比例线段，先证GF∥PD，由GF⊥BC，得 GF⊥EG，从而得到△EFG是直角三角形．
（3）根据成比例线段，求出EG和FG的值，利用△EFG的面积等于

1

2

EG•FG计算出面积．

解答：解：（1）在Rt△BAD中，∵∠ABD=60°，∴AB=R，AD=

3

R
而PD垂直底面ABCD，
PA=

PD2+AD2

=

(2 2 R)2+( 3 R)2

=

11

R，
PB=

PD2+BD2

=

(2 2 R)2+(2R)2

=2

3

R，
在△PAB中，PA²+AB²=PB²，即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形．
设点D到面PAB的距离为H，由V_P-ABD=V_D-PAB，有PA•AB•H=AB•AD•PD，
即H=

AD•PD

PA

=

3 R•2 2 R

11 R

=

2 66

11

R，sinθ=

H

BD

=

66

11

．
（2）EG∥BC，∴

PE

EB

=

PG

GC

，而

PE

EB

=

DF

FC

，即

PG

GC

=

DF

FC

，
∴GF∥PD，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，∴△EFG是直角三角形．
（3）

PE

EB

=

1

2

时

EG

BC

=

PE

PB

=

1

3

，

GF

PD

=

CF

CD

=

2

3

，
即EG=

1

3

BC=

1

3

×2R×cos45°=

2

3

R，GF=

2

3

PD=

2

3

×2

2

R=

4 2

3

R，
∴△EFG的面积S△EFG=

1

2

EG•GF=

1

2

×

2

3

R×

4 2

3

R=

4

9

R2．

点评：本题考查线面成的角的求法，线面垂直的性质的应用，属于中档题．