Question

求二次函数f（x）=x²-2x+2在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：二次函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的对称轴为 x=1，分①当t＞1时、②当 t≤1≤t+

1

2

时、③当t+

1

2

＜1≤t+1时、④当t+1＜1时四种情况，分别利用二次函数的性质，求得函数在[t，t+1]上的最值．

解答： 解：∵二次函数f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的对称轴为 x=1，
①当t＞1时，函数在[t，t+1]上是增函数，故当x=t时，函数取得最小值为t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）²-2（t+1）+2．
②当 t≤1≤t+

1

2

时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）²-2（t+1）+2．
③当t+

1

2

＜1≤t+1时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t时，函数取得最大值为t²-2t+2．
④当t+1＜1时，函数在[t，t+1]上是减函数，故当x=t时，函数取得最大值为t²-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最小值为（t+1）²-2（t+1）+2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．