Question

已（12分）知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线过点F交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

试题分析： （1）根据已知中的条件得到离心率和a的关系式，进而得到椭圆的方程。
（2）对于直线斜率是否存在要给予讨论，并联立方程组的思想，结合韦达定理和向量关系式得到k的方程，求解得到k的值。
解：（Ⅰ）设椭圆方程为（>b>0）．
依题意，, c=1，，，………………………………2分
∴所求椭圆方程为 ．………4分
（Ⅱ）若直线的斜率k不存在，则不满足．
当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．因为直线过椭圆的焦点F（0，1），所以取任何实数, 直线与椭圆均有两个交点A、B．
设A 
联立方程   消去y，
得．…………6分
，     ①
，                 ②
由F（0，1），A，
则，
，∴，
得．……………………8分
将代入①、②，
得， ③
， ④……………10分
由③、④ 得，，
化简得，解得，.∴直线的方程为：．12分
点评：解决该试题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质，根据其性质得到参数a,b的值，进而得到其方程。同时联立方程组，结合向量的关系式和韦达定理得到从那数k的值。