题目内容

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（
2
，
π
4
），直线l过点P，且倾斜角为
2π
3
，方程
x2
36
+
y2
16
=1所对应的曲线经过伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．
（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）
∵直线l过点P，且倾斜角为
2π
3
，∴直线l的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=1+
3
2
t
（t为参数）
∵伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
，∴
x=3x′
y=2y′

代入
x2
36
+
y2
16
=1，可得
(3x′)2
36
+
(2y′)2
16
=1，即x′2+y′2=4
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；
（Ⅱ）直线l的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=1+
3
2
t
，代入曲线C可得t2+（
3
-1）t-2=0
设方程的根为t1，t2，则t1+t2=
3
-1；t1t2=-2
∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=2
练习册系列答案
相关题目
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
π
2
）．若直线l过点P，且倾斜角为
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=
π
6
．
（I）写出直线l的参数方程是
x=
3
t+1
y=t+1
（t为参数），
x=
3
t+1
y=t+1
（t为参数），

（II）设l与圆ρ=2相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是
2
2
．
（2012•许昌县一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（
2
，
π
4
），直线l过点P，且倾斜角为
2π
3
，方程
x2
36
+
y2
16
=1所对应的曲线经过伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．
三题中任选两题作答
（1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=
11
21
，向量β=
1
2
，求向量α，使得A2α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，
π
2
)，若直线l过点P，且倾斜角为
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；  ②试判定直线l和圆C的位置关系．
（3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（-1，5），点M的极坐标为（4，
π
2
）．若直线l过点P，且倾斜角为
π
3
，圆C以M为圆心，半径为4．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

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