题目内容

(2012•许昌县一模)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的极坐标为(
2
π
4
),直线l过点P,且倾斜角为
3
,方程
x2
36
+
y2
16
=1所对应的曲线经过伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
后的图形为曲线C.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程.
(Ⅱ)直线l与曲线C相交于两点A,B,求|PA|•|PB|的值.
分析:(Ⅰ)确定P的直角坐标,利用直线l过点P,且倾斜角为
3
,可得直线l的参数方程;确定坐标之间的关系,代入方程,化简可得结论;
(Ⅱ)直线l的参数方程,代入曲线方程,利用参数的几何意义,即可求|PA|•|PB|的值.
解答:解:(Ⅰ)P的直角坐标为(1,1)
∵直线l过点P,且倾斜角为
3
,∴直线l的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=1+
3
2
t
(t为参数)
∵伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
,∴
x=3x′
y=2y′

代入
x2
36
+
y2
16
=1,可得
(3x′)2
36
+
(2y′)2
16
=1
,即x′2+y′2=4
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4;
(Ⅱ)直线l的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=1+
3
2
t
,代入曲线C可得t2+(
3
-1
)t-2=0
设方程的根为t1,t2,则t1+t2=
3
-1
;t1t2=-2
∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=2
点评:本题考查直线的参数方程,考查代入法求轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查参数的几何意义,属于中档题.
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