Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
（1）求a₁，a₂．
（2）是否存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列；若存在，求出λ的值．
（3）令c_n=

an+1

n+1

，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知代入a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，即可求出a₁，a₂．
（2）假设存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列，求出λ的值为1，再证明数列{

an+1

2n

}为等差数列即可．
（3）由（2）得到c_n=

an+1

n+1

=

n+2

n+1

•2n，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，只需m小于数列{c_n}的最小项，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）由于数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
则a₃=2a₂+2³+1，a₂=2a₁+2²+1，故a₂=15，a₁=5；
（2）若存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列，
则

a1+λ

21

，

a2+λ

22

，

a3+λ

23

也为等差数列，
故2×

a2+λ

22

=

a1+λ

21

+

a3+λ

23

解得λ=1，
由于

an+1+1

2n+1

-

an+1

2n

=

2an+2n+1+2

2n+1

-

an+1

2n

=1
所以数列{

an+1

2n

}为等差数列，首项为

a1+1

21

=3，
故当λ=1时，数列{

an+λ

2n

}为等差数列；
（3）由（2）知，

an+1

2n

=3+(n-1)•1=n+2
若令c_n=

an+1

n+1

，则c_n=

n+2

n+1

•2n
由于c_n≥c_n+1等价于

n+2

n+1

•2n≥

n+1+2

n+1+1

•2n+1=

n+3

n+2

•2n+1
即n²+4n+2=（n+2）²-2≤0无解，故恒有c_n≥c_n-1
若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，则必有

a1+1

1+1

=3=c₁＞m
则实数m的取值范围为m＜3．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列求和公式，同时考查了分类讨论的数学思想，该题有一定的难度．