题目内容

曲线 $数学公式$ 与直线y=x+3的交点个数是________．

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分析：曲线 $\text{[math]}$ 在y轴右边为双曲线，在y轴左边为椭圆，在y轴左边，椭圆上顶点为（0，3）左顶点为（-2，0），在y轴右边，双曲线渐近线为y=± $\text{[math]}$ ，由此能求出曲线 $\text{[math]}$ 与直线y=x+3的交点个数．
解答：曲线 $\text{[math]}$ 在y轴右边为双曲线，在y轴左边为椭圆，
在y轴左边，上顶点为（0，3）左顶点为（-2，0），
∴直线y=x+3在y轴左边有两个交点
在y轴右边，渐近线为y=± $\text{[math]}$ ，
∴有一个交点，
所以，曲线 $\text{[math]}$ 与直线y=x+3的交点个数是3个．
故答案为：3．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是不能正确判断曲线的形状．